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Pierre Charollois & Henri Darmon |
Vol. 2 (2008), No. 6, 655-688 |
Abstract |
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de Hilbert) d’unités dans des extensions
abéliennes de certains corps de base qui ne sont ni
totalement réels ni de type CM. Ces corps de base
possèdent un unique plongement complexe, et sont des
extensions quadratiques d’un corps totalement réel
F. On les appelle corps ATR
(“almost totally real”). Notre construction fait
intervenir certains cycles topologiques homologiquement triviaux
sur la variété modulaire de Hilbert associée
à F. Les unités
spéciales sont les images de ces cycles par une application
qui repose sur l’intégration des séries
d’Eisenstein de poids deux sur GL2(F), et peut
être vue comme un analogue formel des applications
d’Abel–Jacobi de la théorie des cycles
algébriques. On démontre que notre conjecture est
compatible avec la conjecture de Stark pour les extensions ATR.
Elle donne même un rafinement de la conjecture de
Stark dans ce contexte, puisqu’elle fournit une formule
analytique pour les arguments des unités de Stark, et pas
seulement pour leurs valeurs absolues. La dernière section
présente des résultats d’expériences
numériques qui appuient notre conjecture.
We describe a conjectural construction (in the spirit of Hilbert’s Twelfth problem) of units in abelian extensions of certain base fields which are neither totally real nor CM. These base fields are quadratic extensions with exactly one complex place of a totally real number field F, and are referred to as almost totally real (ATR) extensions. Our construction involves certain null-homologous topological cycles on the Hilbert modular variety attached to F. The special units are the images of these cycles under a map defined by integration of weight two Eisenstein series on GL2(F). This map is formally analogous to the higher Abel–Jacobi maps that arise in the theory of algebraic cycles. We show that our conjecture is compatible with Stark’s conjecture for ATR extensions; it is, however, a genuine strengthening of Stark’s conjecture in this context since it gives an analytic formula for the arguments of the Stark units and not just their absolute values. The last section provides numerical evidence for our conjectures. |
Keywordsséries d'Eisenstein, périodes des formes modulaires de Hilbert, arguments des unités de Stark, conjectures de Stark, douzième problème de Hilbert, application d'Abel–Jacobi, cohomologie du groupe modulaire de Hilbert, fonction d'Asai, valeurs spéciales de fonctions zéta partielles, Eisenstein series, periods of Hilbert modular forms, arguments of Stark units, Stark conjectures, Hilbert twelfth problem, Abel–Jacobi map, cohomology of the Hilbert modular group, Asai function, special values of partial zeta functions |
Mathematical Subject ClassificationPrimary: 11F67 Secondary: 11F75 |
Authors |
| Pierre Charollois |
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Institut de mathématiques de Jussieu Équipe de théorie des nombres Case 247–4, place Jussieu 75252 Paris Cedex France |
| Henri Darmon |
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The Department of Mathematics and Statistics McGill University 805 Sherbrooke Street West Montreal, QC H3A 2K6 Canada |
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